O podręczniku

SPIS  TREŚCI

Od Autora  3

1. Szeregi liczbowe  5

1. Wstęp  5

2. Zbieżność szeregu. Warunek konieczny bieżności  6

3. Warunek Cauchy’ego zbieżności  8

4. Własności szeregów. Działania na szeregach  9

5. Szeregi naprzemienne  10

6. Szeregi o wyrazach dodatnich  10

A. Kryterium porównawcze  11

B. Kryterium d’Alemberta  12

C. Kryterium Cauchy’ego  14

D. Kryterium całkowe  15

7. Zbieżność bezwzględna lub warunkowa  16

8. Mnożenie szeregów  20

9. Produkty (iloczyny nieskończone)  23

2. Ciągi i szeregi funkcyjne  26

1. jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego 26

2. Konsekwencje jednostajnej zbieżności 30

3. Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego  31

4. Całkowanie i różniczkowanie szeregów jednostajnie zbieżnych  32

5. Przykłady  33

3. Szeregi potęgowe  39

1. Wstęp  39

2. Twierdzenie Abela. Promień zbieżności  39

3. Różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych  41

4. Związek szeregów potęgowych ze wzorami Taylora-Maclaurina  42

5. Działania na szeregach potęgowych  45

4. Funkcje wielu zmiennych  55
   
    1. Przestrzeń metryczna. Przestrzeń euklidesowa  56
   
    2. Funkcje w przestrzeniach euklidesowych  60
   
    3. Funkcje elementarne  62
   
    4. Przykłady  63
   
    5. Elementarne badanie funkcji  64
   
    6. Ogólne własności funkcji  68
   
    7. Jednostajna ciągłość funkcji w przestrzeniach euklidesowych  70

5. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych  75
   
    1. Wstęp  75
   
    2. Pochodne cząstkowe  75
   
    3. Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych  76
   
    4. Pochodna kierunkowa  77
   
    5. Własności pochodnych cząstkowych i pochodnej kierunkowej  79
   
    6. Przyrost funkcji i różniczka zupełna  79
   
    7. Najprostsze zastosowania różniczki zupełnej  82
   
    8. Pochodna superpozycji funkcji  84
   
    9. Normalna powierzchni. Płaszczyzna styczna  88
   
    10. Gradient  91
   
    11. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.  Twierdzenie Schwarza  92
   
    12. Twierdzenie Taylora. Różniczki zupełne wyższych rzędów  96
   
    13 Funkcje uwikłane  98
   
    14 Zamiana zmiennych  105

6. Ekstrema funkcji wielu zmiennych  112
   
     1. Wstęp  112
   
     2. Ekstrema lokalne funkcji rzeczywistej  112
   
     3. Ekstrema funkcji uwikłanych  117
   
     4. Ekstrema warunkowe  118
   
     5. Kresy funkcji wielu zmiennych  125

7. Całki wielokrotne  133
   
     1. Wstęp  133
   
     2. Definicja całki podwójnej  133
   
     3. Całka potrójna  136
   
     4. Całka wielokrotna  137
   
     5. Interpretacja całek wielokrotnych  138
   
     6. Całka wielokrotna w dowolnym obszarze  139
   
     7. Własności całek wielokrotnych  139
   
     8. Obliczanie całek wielokrotnych  141
   
     9 Pole płata powierzchni  149
   
     10. Zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych  150
   
     11. Zastosowania fizyczne całek wielokrotnych  158
   
     12 Całki niewłaściwe  163

8. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe funkcji skalarnych  168
   
     A. Całka krzywoliniowa funkcji skalarnej  168
   
         1. Wstęp  168
   
         2. Definicja całki krzywoliniowej  169
   
         3. Własności całki krzywoliniowej funkcji skalarnej  170
   
         4. Obliczanie całek krzywoliniowych funkcji skalarnych  171
   
     B. Całka powierzchniowa funkcji skalarnej  174
   
         1. Definicja całki powierzchniowej funkcji skalarnej  174
   
         2. Własności całki powierzchniowej  175
   
         3. Obliczanie całki powierzchniowej  176
   
         4. Całki niewłaściwe krzywoliniowe i powierzchniowe funkcji skalarnych  179

9. Pola skalarne. Pola wektorowe. Całki w polach wektorowych  183
   
     1. Pola skalarne. Pola wektorowe  183
   
     2. Całka krzywoliniowa skierowana  185
   
     3. Własności całki krzywoliniowej skierowanej  187
   
     4. Obliczanie całki krzywoliniowej skierowanej  188
   
     5. Interpretacje fizyczne całki krzywoliniowej skierowanej  188 
                A. Praca w polu sił   188 
                B. Krążenie w polu wektorowym   189
   
     6. Całka powierzchniowa skierowana  190
   
     7. Własności całki powierzchniowej skierowanej  191
   
     8. Obliczanie całki powierzchniowej skierowanej  192
   
     9. Interpretacja całki powierzchniowej skierowanej  196

10. Teoria pola  203
   
     1. Wstęp  203
   
     2. Twierdzenie Greena  203
   
     3. Twierdzenie Gaussa  205
   
     4. Twierdzenie Stokesa.  208

11. Całki niewłaściwe. Całki z parametrem  217
   
     1. Wstęp  217
   
     2. Zbieżność całek niewłaściwych  217
   
     3.Własności całek niewłaściwych  219
   
     4. Warunek zbieżności całej niewłaściwych. Kryteria zbieżności  220
   
     5. Zbieżność bezwzględna  222
   
     6. Całki z parametrem  225

12. Szeregi Fouriera  233
   
     1. Wstęp  233
   
     2. Wielomiany trygonometryczne  233
   
     3. Szeregi trygonometryczne (Fouriera)  234
   
     4. Układy ortogonalne  238
   
     5. O aproksymacji funkcji wielomianami ortogonalnymi  239
   
     6. Analogia w przestrzeniach wektorowych  241
   
     7. Układy ortogonalne zupełne i ich własności  242
   
     8. Rzut oka na znaczenie szeregów ortogonalnych  244

Posłowie  248